Định luật thứ nhất Những_định_luật_của_Kepler_về_chuyển_động_thiên

Định luật thứ nhất Những_định_luật_của_Kepler_về_chuyển_động_thiên_thể

Hình 2: Định luật thứ nhất Kepler đặt Mặt Trời tại một tiêu điểm của quỹ đạo elip"Quỹ đạo các hành tinh là elip với Mặt Trời nằm tại một tiêu điểm."

Elip là cung phẳng kín thu được từ kéo giãn hình tròn theo 1 hướng (xem hình). Chú ý rằng Mặt Trời không nằm tại tâm của elip mà tại một trong hai tiêu điểm của nó. Tiêu điểm kia, đánh dấu bằng dấu chấm nhạt, không hề có ý nghĩa đối quỹ đạo hành tinh. Tâm elip là trung điểm của đoạn nối hai tiêu điểm. Đường tròn là trường hợp đặc biệt của elip khi hai tiêu điểm của nó trùng nhau.

Độ lệch tâm là tham số có giá trị từ 0 (đường tròn) đến nhỏ hơn 1 (khi độ lệch tâm tiến tới 1, elip tiến tới dạng parabol). Độ lệch tâm quỹ đạo mà Kepler tính được cho các hành tinh là từ 0,007 (Sao Kim) tới 0,2 (Sao Thủy). (Xem thêm Danh sách hành tinh hệ Mặt Trời).

Sau khi Kepler qua đời, nhiều vật thể với tâm sai quỹ đạo lớn đã được phát hiện, bao gồm các sao chổi và tiểu hành tinh. Hành tinh lùn Pluto, phát hiện vào năm 1929 - sự phát hiện chậm trễ này do kích cỡ nhỏ, khoảng cách lớn và sự mờ nhạt của nó, có độ lệch tâm 0,248. Các nhà thiên văn dần khám phá ra nhiều vật thể như sao chổi có quỹ đạo parabol hay thậm chí hypebol và chúng tuân theo các định luật của Newton.[7]

Hình 3: Hệ tọa độ nhật tâm (tọa độ cực) (r, θ) cho elip. Bán trục lớn a, bán trục nhỏ b và bán trục chuẩn p; tâm và hai tiêu điểm đánh dấu bởi các điểm. Khi θ = 0°, r = rmin và khi θ = 180°, r = rmax.

Về mặt toán học, phương trình elip biểu diễn trong hệ tọa độ cực là:

r = p 1 + ε cos ⁡ θ , {\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \,\cos \theta }},}

trong đó (r, θ) là hai tọa độ cực (từ gốc tọa độ) cho elip, p là bán trục chuẩn, và ε là độ lệch tâm của elip. Đối với hành tinh quay trên quỹ đạo quanh Mặt Trời, r là khoảng cách từ Mặt Trời đến hành tinh và θ là góc giữa đường nối hành tinh với Mặt Trời và đường nối hành tinh với Mặt Trời khi nó ở cận điểm quỹ đạo.

Tại θ = 0°, cận điểm quỹ đạo, khoảng cách là nhỏ nhất

r m i n = p 1 + ε . {\displaystyle r_{\mathrm {min} }={\frac {p}{1+\varepsilon }}.}

Tại θ = 90° hoặc θ = 270°, khoảng cách bằng p . {\displaystyle \,p.}

Tại θ = 180°, viễn điểm quỹ đạo, khoảng cách là lớn nhất

r m a x = p 1 − ε . {\displaystyle r_{\mathrm {max} }={\frac {p}{1-\varepsilon }}.}

Bán trục lớn a là giá trị trung bình cộng giữa rmin và rmax:

r max − a = a − r min {\displaystyle \,r_{\max }-a=a-r_{\min }} a = p 1 − ε 2 . {\displaystyle a={\frac {p}{1-\varepsilon ^{2}}}.}

Bán trục nhỏ b là giá trị trung bình nhân giữa rmin và rmax:

r max b = b r min {\displaystyle {\frac {r_{\max }}{b}}={\frac {b}{r_{\min }}}} b = p 1 − ε 2 . {\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}.}

Bán trục chuẩn p là giá trị trung bình điều hòa giữa rmin và rmax:

1 r min − 1 p = 1 p − 1 r max {\displaystyle {\frac {1}{r_{\min }}}-{\frac {1}{p}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r_{\max }}}} p a = r max r min = b 2 . {\displaystyle pa=r_{\max }r_{\min }=b^{2}\,.}

Độ lệch tâm (hay tâm sai) ε là hệ số biến thiên giữa rmin và rmax:

ε = r m a x − r m i n r m a x + r m i n . {\displaystyle \varepsilon ={\frac {r_{\mathrm {max} }-r_{\mathrm {min} }}{r_{\mathrm {max} }+r_{\mathrm {min} }}}.}

Diện tích của elip bằng:

A = π a b . {\displaystyle A=\pi ab\,.}

Trường hợp đặc biệt cho đường tròn ε = 0, khi đó r = p = rmin = rmax = a = b and A = π r2.

Chứng minh định luật Kepler thứ nhất
Gọi M {\displaystyle M} , m {\displaystyle m} lần lượt là khối lượng của Mặt Trời và hành tinh ( m ≪ M ) {\displaystyle (m\ll M)} . v {\displaystyle v} là vận tốc trên quỹ đạo của hành tinh. Các ký hiệu khác được nhắc tới ở trên. Theo định luật vạn vật hấp dẫn Newton, thế năng của hành tinh được cho bởi công thức: E p o t = − G M m r . {\displaystyle E_{\mathrm {pot} }=-{\frac {GMm}{r}}.} Động năng của hành tinh là: E k i n = 1 2 m v 2 = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 ) {\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})} do trong hệ tọa độ cực vectơ vận tốc v → {\displaystyle {\overrightarrow {v}}} có hai thành phần, thành phần xuyên tâm là r ˙ {\displaystyle {\dot {r}}} và thành phần vuông góc với nó r θ ˙ = r d θ / d t {\displaystyle r{\dot {\theta }}=rd\theta /dt} . Từ đó, tổng năng lượng của hành tinh E = E k i n + E p o t = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 ) − G M m r . {\displaystyle E=E_{\mathrm {kin} }+E_{\mathrm {pot} }={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {GMm}{r}}.} (1) Mômen động lượng của hành tinh là: L = m r 2 d θ / d t {\displaystyle L=mr^{2}d\theta /dt} . Nếu đặt u = 1 / r {\displaystyle u=1/r} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } θ ˙ = d θ / d t = L u 2 m . {\displaystyle {\dot {\theta }}=d\theta /dt={\frac {Lu^{2}}{m}}.} Lấy tích phân θ = ∫ L u 2 m d t {\displaystyle \theta =\int {\frac {Lu^{2}}{m}}\;dt} = {\displaystyle =} ∫ L u 2 m d t d u d u {\displaystyle \int {\frac {Lu^{2}}{m}}{\frac {dt}{du}}\;du} mà r ˙ = d r d t = − 1 u 2 d u d t {\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{dt}}} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } θ = − ∫ L m r ˙ d u {\displaystyle \theta =-\int {\frac {L}{m{\dot {r}}}}\;du} (2) Từ (1) ta có r ˙ 2 = 2 E m + 2 G M u − L 2 m 2 u 2 {\displaystyle {\dot {r}}^{2}={\frac {2E}{m}}+2GMu-{\frac {L^{2}}{m^{2}}}u^{2}} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } r ˙ = 2 E m + 2 G M u − L 2 m 2 u 2 {\displaystyle {\dot {r}}={\sqrt {{\frac {2E}{m}}+2GMu-{\frac {L^{2}}{m^{2}}}u^{2}}}} (3) thay vào (2) θ = − ∫ L m 2 E m + 2 G M u − L 2 m 2 u 2 d u {\displaystyle \theta =-\int {\frac {L}{m{\sqrt {{\frac {2E}{m}}+2GMu-{\frac {L^{2}}{m^{2}}}u^{2}}}}}\;du} Từ đây ta có thể tính tích phân để tìm θ {\displaystyle \theta } . Một cách nhanh hơn, nếu đặt p = L 2 G M m 2 {\displaystyle p={\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}} và ε 2 = 1 + 2 E p G M m = 1 + 2 E m ( L m ) 2 G 2 M 2 {\displaystyle \varepsilon ^{2}=1+{\frac {2Ep}{GMm}}=1+{\frac {2{\frac {E}{m}}({\frac {L}{m}})^{2}}{G^{2}M^{2}}}} (4) hay thay vào (3) r ˙ = L m ε 2 p 2 − ( u − 1 p ) 2 {\displaystyle {\dot {r}}={\frac {L}{m}}{\sqrt {{\frac {\varepsilon ^{2}}{p^{2}}}-\left(u-{\frac {1}{p}}\right)^{2}}}} việc đặt p và e như vậy giúp chúng ta nhìn thấy kết quả là elip một cách trực tiếp hơn. Thay vào (2) ta có: θ = − ∫ 1 ( ε p ) 2 − ( u − 1 p ) 2 d u = arccos ⁡ ( u − 1 p ε p ) = arccos ⁡ ( 1 r − 1 p ε p ) {\displaystyle \theta =-\int {\frac {1}{\sqrt {({\frac {\varepsilon }{p}})^{2}-(u-{\frac {1}{p}})^{2}}}}\;du=\arccos \left({\frac {u-{\frac {1}{p}}}{\frac {\varepsilon }{p}}}\right)=\arccos \left({\frac {{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}{\frac {\varepsilon }{p}}}\right)} hay r = p 1 + ε cos ⁡ θ . {\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \theta }}.} Nhận xét: Nếu tổng năng lượng E < 0 {\displaystyle E<0} thì 0 < ε < 1 {\displaystyle 0<\varepsilon <1} Quỹ đạo là elip Nếu E = 0 {\displaystyle E=0} thì ε = 1 {\displaystyle \varepsilon =1} Quỹ đạo là parabol Nếu E > 0 {\displaystyle E>0} thì ε > 1 {\displaystyle \varepsilon >1} Quỹ đạo là hypebol Các định nghĩa p , ε {\displaystyle p,\varepsilon } theo r m a x , r m i n {\displaystyle r_{\mathrm {max} },r_{\mathrm {min} }} là các định nghĩa hình học, còn theo (4) là xác định chúng theo các đại lượng vật lý. Theo định luật bảo toàn mô men động lượng đại lượng L = m r 2 d θ / d t = c o n s t {\displaystyle L=mr^{2}d\theta /dt=const} , do đó mặt phẳng quỹ đạo của hành tinh là không thay đổi.

Chứng minh định luật Kepler thứ nhất

Gọi M {\displaystyle M} , m {\displaystyle m} lần lượt là khối lượng của Mặt Trời và hành tinh ( m ≪ M ) {\displaystyle (m\ll M)} . v {\displaystyle v} là vận tốc trên quỹ đạo của hành tinh. Các ký hiệu khác được nhắc tới ở trên.

Theo định luật vạn vật hấp dẫn Newton, thế năng của hành tinh được cho bởi công thức: E p o t = − G M m r . {\displaystyle E_{\mathrm {pot} }=-{\frac {GMm}{r}}.}

Động năng của hành tinh là: E k i n = 1 2 m v 2 = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 ) {\displaystyle E_{\mathrm {kin} }={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})}

do trong hệ tọa độ cực vectơ vận tốc v → {\displaystyle {\overrightarrow {v}}} có hai thành phần, thành phần xuyên tâm là r ˙ {\displaystyle {\dot {r}}} và thành phần vuông góc với nó r θ ˙ = r d θ / d t {\displaystyle r{\dot {\theta }}=rd\theta /dt} .

Từ đó, tổng năng lượng của hành tinh

E = E k i n + E p o t = 1 2 m ( r ˙ 2 + r 2 θ ˙ 2 ) − G M m r . {\displaystyle E=E_{\mathrm {kin} }+E_{\mathrm {pot} }={\frac {1}{2}}m({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-{\frac {GMm}{r}}.} (1)

Mômen động lượng của hành tinh là: L = m r 2 d θ / d t {\displaystyle L=mr^{2}d\theta /dt} . Nếu đặt u = 1 / r {\displaystyle u=1/r} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } θ ˙ = d θ / d t = L u 2 m . {\displaystyle {\dot {\theta }}=d\theta /dt={\frac {Lu^{2}}{m}}.}

Lấy tích phân

θ = ∫ L u 2 m d t {\displaystyle \theta =\int {\frac {Lu^{2}}{m}}\;dt} = {\displaystyle =} ∫ L u 2 m d t d u d u {\displaystyle \int {\frac {Lu^{2}}{m}}{\frac {dt}{du}}\;du}

mà r ˙ = d r d t = − 1 u 2 d u d t {\displaystyle {\dot {r}}={\frac {dr}{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{dt}}}

⇒ {\displaystyle \Rightarrow } θ = − ∫ L m r ˙ d u {\displaystyle \theta =-\int {\frac {L}{m{\dot {r}}}}\;du} (2)

Từ (1) ta có r ˙ 2 = 2 E m + 2 G M u − L 2 m 2 u 2 {\displaystyle {\dot {r}}^{2}={\frac {2E}{m}}+2GMu-{\frac {L^{2}}{m^{2}}}u^{2}}

⇒ {\displaystyle \Rightarrow } r ˙ = 2 E m + 2 G M u − L 2 m 2 u 2 {\displaystyle {\dot {r}}={\sqrt {{\frac {2E}{m}}+2GMu-{\frac {L^{2}}{m^{2}}}u^{2}}}} (3)

thay vào (2)

θ = − ∫ L m 2 E m + 2 G M u − L 2 m 2 u 2 d u {\displaystyle \theta =-\int {\frac {L}{m{\sqrt {{\frac {2E}{m}}+2GMu-{\frac {L^{2}}{m^{2}}}u^{2}}}}}\;du}

Từ đây ta có thể tính tích phân để tìm θ {\displaystyle \theta } .

Một cách nhanh hơn, nếu đặt p = L 2 G M m 2 {\displaystyle p={\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}} và ε 2 = 1 + 2 E p G M m = 1 + 2 E m ( L m ) 2 G 2 M 2 {\displaystyle \varepsilon ^{2}=1+{\frac {2Ep}{GMm}}=1+{\frac {2{\frac {E}{m}}({\frac {L}{m}})^{2}}{G^{2}M^{2}}}} (4)

hay thay vào (3) r ˙ = L m ε 2 p 2 − ( u − 1 p ) 2 {\displaystyle {\dot {r}}={\frac {L}{m}}{\sqrt {{\frac {\varepsilon ^{2}}{p^{2}}}-\left(u-{\frac {1}{p}}\right)^{2}}}}

việc đặt p và e như vậy giúp chúng ta nhìn thấy kết quả là elip một cách trực tiếp hơn.

Thay vào (2) ta có:

θ = − ∫ 1 ( ε p ) 2 − ( u − 1 p ) 2 d u = arccos ⁡ ( u − 1 p ε p ) = arccos ⁡ ( 1 r − 1 p ε p ) {\displaystyle \theta =-\int {\frac {1}{\sqrt {({\frac {\varepsilon }{p}})^{2}-(u-{\frac {1}{p}})^{2}}}}\;du=\arccos \left({\frac {u-{\frac {1}{p}}}{\frac {\varepsilon }{p}}}\right)=\arccos \left({\frac {{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{p}}}{\frac {\varepsilon }{p}}}\right)}

hay r = p 1 + ε cos ⁡ θ . {\displaystyle r={\frac {p}{1+\varepsilon \cos \theta }}.}

Nhận xét:

Nếu tổng năng lượng E < 0 {\displaystyle E<0} thì 0 < ε < 1 {\displaystyle 0<\varepsilon <1} Quỹ đạo là elip
Nếu E = 0 {\displaystyle E=0} thì ε = 1 {\displaystyle \varepsilon =1} Quỹ đạo là parabol
Nếu E > 0 {\displaystyle E>0} thì ε > 1 {\displaystyle \varepsilon >1} Quỹ đạo là hypebol
Các định nghĩa p , ε {\displaystyle p,\varepsilon } theo r m a x , r m i n {\displaystyle r_{\mathrm {max} },r_{\mathrm {min} }} là các định nghĩa hình học, còn theo (4) là xác định chúng theo các đại lượng vật lý.
Theo định luật bảo toàn mô men động lượng đại lượng L = m r 2 d θ / d t = c o n s t {\displaystyle L=mr^{2}d\theta /dt=const} , do đó mặt phẳng quỹ đạo của hành tinh là không thay đổi.